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简化二十一点策略 基于概率的棘手手牌玩法

发布日期：2022年12月07日

类别：策略与技巧

作者：Dr Catalin Barboianu

二十一点在赌场游戏中具有双重声誉。它被公认为拥有最低的庄家优势，并且没有其他游戏在学术界受到如此关注。二十一点是一种允许游戏理论家制定和应用所谓的“最佳策略”的游戏。

然而，尽管这些最佳策略的资料以便于使用的形式编辑，但并不是每个人都能在游戏中应用它们，即使是简化版本。记忆是应用之前所需的一项技能，而这些图表通常由超过300项的表格组成。在谈到基于抓牌计数的最佳策略，比如高低计数，情况会变得更加复杂，因为需要新的技能。

不过，玩家有另一种较少技能要求的战略玩法选择，那就是使用二十一点概率表来识别手牌和情况类型，了解哪些情况在概率上指示有利或不利的行动。

如何计算二十一点策略的概率

从数学家的角度来看，计算二十一点的概率和赌博中的其他游戏相比是最具挑战性的。在牌类游戏中，使用组合计算来获得事件的概率，这些事件以牌的组合形式表达。在二十一点中，这一原则同样适用，然而，二十一点事件以总分值表示，这必须在进行计算之前进行划分和展开。

而且，随著时间的推移，二十一点游戏的方法越来越多地使用堆叠而非完整的牌组。这种洗牌和发牌方法的引入，无疑是为了防止计算二十一点的概率、洗牌追踪和抓牌计数，因为在堆叠中值的分布并不均匀。

尽管如此，在制定二十一点策略时，概率仍然是至关重要的。数学家们是如何克服这些困难的？他们在20世纪50年代的一个伟大想法是，对于个别值2到9以及A，将其确定的概率定为1/13，对于10点牌的概率则定为4/13，无论已经发出的牌是什么。

虽然这一假设仅适用于无限大小的假想牌组，但它为数学家制定出长期的二十一点概率和建立基于这些概率的最佳策略递归应用、迭代计算和马尔可夫链奠定了基础。而且，这些结果适用于各种类型的洗牌和发牌条件，包括不同数量的牌组。

二十一点概率表

初始概率是扑克牌发出前庄家的总点数：

总点数 17 18 19 20 21 二十一点 爆牌 机率 01451 01395 01335 01803 00727 00473 02816

表1 庄家结果的先验机率。

可以看到，庄家达到17、18或19点的概率相差不大，而庄家达到20点的概率是最高的，爆牌的概率约为28。根据频率，庄家平均每35局会爆牌一次。

对庄家来说，根据其第一张牌的条件机率更为相关：

庄家第一张牌 庄家结果 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 17 01398 01350 01305 01223 01654 03686 01286 01200 01114 01308 18 01349 01305 01259 01223 01063 01378 03593 01200 01114 01308 19 01297 01256 01214 01177 01063 00786 01286 03508 01114 01308 20 01240 01203 01165 01131 01017 00786 00694 01200 03422 01308 21 01180 01147 01112 01082 00972 00741 00694 00608 00345 00539 二十一点 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00769 03077 爆牌 03536 03739 03945 04164 04232 02623 02447 02284 02121 01153

表2 庄家结果的机率依赖于其第一张牌。

表2中的机率与给玩家发牌前的时刻相关。

第一个观察是，庄家在其第一张牌为2到6时，有最大的爆牌机率，而在7到A时则最低。在庄家的第一张牌为5或6时，其爆牌机率最高约4142。但还有更多观察结果。

根据上述庄家的机率，如果玩家保持一定的总点数，则可以计算出他们的获胜机率：

庄家第一张牌 玩家总点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 二十一点 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09231 06923 21 08820 08853 08880 08918 09028 09259 09306 09392 08886 06384 20 07580 07650 07723 07787 08011 08473 08612 08192 05464 05076 19 06283 06394 06509 06610 06948 07687 07326 04684 04350 03768 18 04934 05089 05250 05387 05885 06309 03733 03484 03236 02460 17 03536 03739 03945 04164 04231 02623 02447 02284 02121 01153

表3 在持有不抽牌的情况下，玩家的获胜机率，条件依赖于庄家的第一张牌。

下面是玩家在抽到下一张牌后，无论庄家的第一张牌是什么情况下的爆牌机率：

玩家总点数 爆牌机率 21 1 20 092 19 085 18 077 17 069 16 062 15 058 14 056 13 039 12 031 11 或更低 0

表4 玩家抽一张牌后的爆牌机率。

机率与最佳二十一点策略

二十一点的机率是重要的信息，可能在某些情况下显示玩家或庄家的相对优势。然而，这并不构成最佳策略在二十一点中所意味的完整画面。在计算二十一点的庄家优势时，概率与支付率一起进入方程。根据游戏的版本、规则和玩家使用的策略，二十一点的庄家优势可能在01到27之间。

当他们说二十一点为玩家提供了在赌场游戏中最好的下注机会时，提到的机会实际上是指庄家优势。事实上，战略玩法会影响庄家优势，这是庄家优势定义的直接体现。根据某一种规则方案的最佳二十一点策略可以得到最低的庄家优势。

那么，最佳策略是如何构思出来的，它们又是如何运作的呢？它们的基本原则是最小化损失并最大化长期的赢利，基于数学期望的比较。数学期望的表达方式涉及到概率和支付率：EV = 赢的概率获胜的支付 输的概率输的损失，其中损失为负数。

对于游戏的每一种配置，通过比较玩家与每个可能行动停止、抽牌、加倍、分牌、放弃相关的期望，期望最高的行动就是最佳行动。因此，仅靠机率无法解释这样的二十一点策略，但可以利用概率和支付率来计算期望。

数学家最早在1956年提出所谓的固定最佳策略。这一二十一点策略在发牌后不会随新牌而改变。到1962年，数学家Edward Thorp设计了高低计数最佳策略，二十一点的数学研究达到顶峰。

此后，基于抓牌计数的各种二十一点策略相继开发并传播给玩家。它们使用不同的计数算法，但以相同的期望比较原则为基础。还有适用于其他游戏的二十一点策略。

无论是基于机率的建议，还是来自最佳策略的建议，都可能在长期内对玩家的结果产生影响。

参考文献：

Brboianu C (2022) 理解你的游戏：数学家的理性和安全赌博建议。PhilScience PressBewersdorff J (2021) 运气、逻辑与小白谎言：游戏的数学，第二版。CRC出版社。Thorp E (1962/1966) 打败庄家。Vintage

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作者：Dr Catalin Barboianu / 专业领域：在线赌场、赌博数学

卡塔林巴博伊亚努博士是一位著名的游戏数学家、科学哲学家和问题赌博研究专家。他拥有卓越的学术背景，在ResearchGate和Google Scholar上发表了大量论文，强调了他在赌场游戏中的游戏理论及其应用方面的专长。

巴博伊亚努博士的学术工作扩展至他对赌场游戏数学的深入著作，他将自己的学术知识应用于现实世界的背景，帮助玩家理解他们最喜爱游戏背后的数学原理。

他的学术成就以及对赌博行业的重大贡献，巩固了他作为业内信赖和权威的来源的地位。

电子邮件： [email protected]

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